Ano 2023#matematica#funcoes-exponenciais#inequacoes#analise-de-funcoes

Sobre o tema

Funções exponenciais são amplamente utilizadas em modelagem de crescimento, decaimento e em inequações. A comparação de funções como f(x)=3^{2x} e g(x)=3^x-2^x requer análise de seus comportamentos para todos os reais. Nesta questão, avalia-se a veracidade de três afirmações sobre desigualdades envolvendo essas funções, testando propriedades como monotonicidade e sinais. O estudo de exponenciais com bases diferentes (3 e 2) é essencial para entender taxas de crescimento e relações entre elas.

Tópicos relacionados

  • Funções exponenciais: definição e propriedades
  • Análise de sinal de funções exponenciais
  • Desigualdades envolvendo exponenciais
  • Comparação de funções com bases diferentes

Enunciado

Sejam $f$ e $g$ funcoes reais definidas da seguinte forma: $f(x) = 3^{2x}$ e $g(x) = 3^x - 2^x$. Considere as afirmacoes:

I. $g(x) \geq 0$, para todo $x \in \mathbb{R}$.

II. $f(x) \geq g(x)$, para todo $x \in \mathbb{R}$.

III. $f(x) + g(x) \geq 0$, para todo $x \in \mathbb{R}$.

E (sao) sempre verdadeira(s):

Alternativas

  • A)

    apenas I.

  • B)

    apenas II.

  • C)

    apenas III.

  • D)

    todas.

  • E)

    nenhuma.

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Perguntas frequentes

Como analisar o sinal de g(x)=3^x-2^x?

g(x) é positivo para x>0, zero para x=0 e negativo para x<0, pois 3^x cresce mais rápido que 2^x para x>0 e vice-versa.

f(x)=3^{2x} pode ser reescrita como (3^2)^x=9^x?

Sim, pois 3^{2x} = (3^2)^x = 9^x, simplificando comparações com g(x).

Por que f(x)≥g(x) vale para todo x?

Para x≥0, f(x)=9^x e g(x)≤3^x, com 9^x≥3^x. Para x<0, f(x) e g(x) são positivos, mas f(x)≥1 e g(x)<1, então desigualdade se mantém.

Qual a importância de testar extremos em desigualdades exponenciais?

Testar x→-∞ e x→∞ ajuda a verificar comportamento assintótico e confirmar se desigualdades valem para todo real.

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