Ano 2023#matematica#combinatoria#binomio-de-newton#expansao-polinomial#raizes-da-unidade

Sobre o tema

A expansão polinomial de expressões como $(1 + x^2 - x^3 + x^4)^{10}$ envolve o uso do binômio de Newton generalizado e conceitos de combinatória. Um problema clássico é calcular a soma dos coeficientes das potências de $x$ que são múltiplas de um determinado número, como 3. Para resolver, utiliza-se a substituição de $x$ por raízes da unidade, que permite filtrar os termos desejados. Essa técnica é amplamente aplicada em olimpíadas de matemática e vestibulares como o ITA, exigindo domínio de polinômios, números complexos e somatórios.

Tópicos relacionados

  • Raízes da unidade em combinatória
  • Soma de coeficientes de potências múltiplas
  • Expansão polinomial com binômio generalizado
  • Técnica de substituição para filtrar termos

Enunciado

Na expansao de $[1 + x^2 - x^3 + x^4]^{10}$, a soma de todos os coeficientes das potencias multiplas de 3 e

Alternativas

  • A)

    $114$.

  • B)

    $228$.

  • C)

    $342$.

  • D)

    $456$.

  • E)

    $570$.

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Perguntas frequentes

Como calcular a soma dos coeficientes de um polinômio?

Basta substituir a variável por 1. Por exemplo, em P(x), a soma dos coeficientes é P(1).

O que são raízes da unidade e como são usadas em combinatória?

São números complexos que elevados a um inteiro n resultam em 1. Elas permitem extrair termos cujos expoentes são congruentes a um módulo, usando a propriedade de que a soma das raízes n-ésimas da unidade é zero.

Qual a relação entre o binômio de Newton e polinômios com mais de dois termos?

O binômio de Newton generaliza para expansões de (a1 + a2 + ... + ak)^n usando coeficientes multinomiais, que contam o número de maneiras de distribuir expoentes.

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