Ano 2019#mathematics

Sobre o tema

Esta questão aborda a interseção entre equações quadráticas e trigonometria, explorando como as raízes de uma equação do segundo grau podem ser funções trigonométricas. Utilizando as relações de Girard (soma e produto das raízes) e a identidade fundamental sen²θ + cos²θ = 1, é possível determinar o valor do coeficiente k. O problema testa a capacidade de conectar conceitos de álgebra e trigonometria, sendo comum em vestibulares que exigem raciocínio integrado. Compreender essa relação é útil para resolver problemas que envolvem sistemas de equações e funções periódicas.

Tópicos relacionados

  • Relações de Girard (soma e produto)
  • Identidade trigonométrica fundamental
  • Equações do segundo grau
  • Números racionais e irracionais
  • Sistemas de equações trigonométricas

Enunciado

Sejam k e θ números reais tais que sen θ e cos θ são
soluções da equação quadrática 2x²+x+k=0. Então,k
é um número

Alternativas

  • A)

    irracional.

  • B)

    racional não inteiro.

  • C)

    inteiro positivo.

  • D)

    inteiro negativo

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Perguntas frequentes

Como encontrar o valor de k a partir das raízes senθ e cosθ?

Use as relações de Girard: soma das raízes = -1/2 e produto = k/2. Depois, eleve a soma ao quadrado e use a identidade sen²θ + cos²θ = 1 para obter uma equação que relaciona k e a soma, resultando em k = -3/4.

Por que k é um número racional não inteiro?

Porque k = -3/4, que é uma fração, logo racional, mas não é inteiro. O valor é determinado pelas condições do problema, sem depender de θ.

Qual a importância de conhecer a identidade fundamental da trigonometria nesse contexto?

Ela permite relacionar senθ e cosθ sem conhecê-los individualmente, ligando a soma ao produto e possibilitando encontrar k.

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