Ano 2021#mathematics

Sobre o tema

Triângulos com ângulos internos em progressão aritmética (PA) são um caso especial que impõe relações entre seus lados. Nessa configuração, um dos ângulos é sempre 60°, pois a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°. A partir da Lei dos Senos, é possível deduzir identidades algébricas que conectam os lados. Esse tipo de problema é comum em geometria plana combinada com sequências, testando tanto conhecimentos de trigonometria quanto de álgebra. Compreender a relação entre ângulos e lados em triângulos com PA é útil para resolver questões de concursos e vestibulares, como a UNICAMP.

Tópicos relacionados

  • Progressão aritmética em triângulos
  • Lei dos Senos e ângulos em PA
  • Propriedades de senos e cossenos
  • Soma de ângulos internos do triângulo
  • Relações métricas em triângulos

Enunciado

Considere que os ângulos internos de um triângulo formam
uma progressão aritmética. Dado que a,b,𝑐 são as
medidas dos lados do triângulo, sendo

Alternativas

  • A)

    b^2 +ac = a^2 +c^2.

  • B)

    a^2 +bc = b^2 +c^2.

  • C)

    a^2 - bc = b^2 +c^2.

  • D)

    b^2 - ac = a^2 +c^2.

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Perguntas frequentes

Como determinar os ângulos de um triângulo sabendo que estão em PA?

Se os três ângulos internos de um triângulo estão em progressão aritmética, denote-os por x-d, x, x+d. Como a soma é 180°, temos 3x=180°, logo x=60°. Assim, os ângulos são 60°-d, 60° e 60°+d, com |d|<60°.

Qual a relação entre os lados de um triângulo com ângulos em PA?

Pela Lei dos Senos, os lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos. Assim, se os ângulos são 60°-d, 60°, 60°+d, então os lados satisfazem identidades como b² + ac = a² + c² (se b for oposto a 60°).

Como aplicar a Lei dos Senos nesse contexto?

A Lei dos Senos afirma que a/senA = b/senB = c/senC = 2R. Com os ângulos em PA, substitua os senos dos ângulos e use identidades trigonométricas para obter relações algébricas entre os lados.

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