Ano 2021#mathematics

Sobre o tema

A questão explora simplificação de expressões trigonométricas, um tema central na matemática do ensino médio e superior. O uso de identidades fundamentais, como sen²θ + cos²θ = 1, e fórmulas de ângulo duplo (cos2θ e sen2θ) é essencial para reduzir expressões complexas. Dominar essas técnicas é crucial para resolver problemas em cálculo, física e engenharia, onde manipulações algébricas e trigonométricas são frequentes. A resolução passo a passo envolve combinar frações, aplicar identidades e simplificar até obter uma forma equivalente entre as alternativas.

Tópicos relacionados

  • Identidades trigonométricas fundamentais
  • Fórmulas de ângulo duplo
  • Simplificação de expressões racionais
  • Trigonometria básica

Enunciado

Se θ ∈ (0,π/2), a expressão
(((cos(θ) + sen(θ))/sen(θ)) + ((cos(θ) - sen(θ))/cos(θ)))/(((cos(θ) + sen(θ))/cos(θ)) + ((cos(θ) - sen(θ))/sen(θ)))
é equivalente a

Alternativas

  • A)

    cos^2(θ) + sen^2(θ).

  • B)

    cos(2θ) - sen(2θ).

  • C)

    cos(2θ) + sen(2θ).

  • D)

    1.

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Perguntas frequentes

O que são as identidades trigonométricas fundamentais?

São relações básicas entre as funções seno, cosseno, tangente, etc., como sen²θ + cos²θ = 1 e tanθ = senθ/cosθ. Elas permitem simplificar expressões e resolver equações trigonométricas.

Como se obtém a fórmula de seno do ângulo duplo?

A fórmula sen(2θ) = 2 senθ cosθ é derivada da identidade de soma de ângulos: sen(θ+θ) = senθ cosθ + cosθ senθ = 2 senθ cosθ.

Qual é a importância de simplificar expressões trigonométricas?

Simplificar expressões ajuda a reconhecer padrões, resolver equações, integrar funções e modelar fenômenos periódicos de forma mais eficiente.

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