Ano 2022#mathematics

Sobre o tema

Quadriláteros circunscritos a um círculo, também chamados de quadriláteros tangenciais, obedecem ao Teorema de Pitot: a soma dos comprimentos de dois lados opostos é igual à soma dos outros dois. Essa propriedade é fundamental para resolver problemas envolvendo comprimentos de lados e pontos de tangência. No contexto de progressões aritméticas, o teorema impõe relações específicas entre os lados. Nesta questão da UNICAMP, um quadrilátero ABCD possui um círculo inscrito, com lado DA medindo 3 e os lados AB, BC e CD formando uma progressão aritmética crescente de números inteiros. A partir do ponto de tangência T no lado DA, sabe-se que o segmento TA também é inteiro. O desafio é determinar as medidas de AB, BC e CD, aplicando o Teorema de Pitot e as propriedades das tangentes de um ponto a um círculo.

Tópicos relacionados

  • Teorema de Pitot
  • Quadrilátero tangencial
  • Propriedade das tangentes
  • Progressão aritmética de lados
  • Problema de geometria com incírculo

Enunciado

Um círculo está inscrito em um quadrilátero ABCD. Seja o
ponto de tangência do lado DA com o círculo. Sabe-se que
as medidas dos lados AB,BC e CD formam, nesta ordem,
uma progressão aritmética crescente de números inteiros e
que a medida do lado DA é𝐴 3. Considerando que a medida
do segmento TA é um número inteiro, as medidas dos
lados AB,BC e CD são, respectivamente:

Alternativas

  • A)

    1,3,5.

  • B)

    2,3,4.

  • C)

    2,4,6.

  • D)

    3,4,5.

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Perguntas frequentes

O que é um quadrilátero tangencial?

É um quadrilátero que possui um círculo inscrito, ou seja, todos os seus lados são tangentes a uma mesma circunferência. Nesse tipo de quadrilátero, as somas dos comprimentos dos lados opostos são iguais (Teorema de Pitot).

Como o Teorema de Pitot se aplica a este problema?

O Teorema de Pitot afirma que AB + CD = BC + DA. Como DA é conhecido (3) e AB, BC, CD formam uma progressão aritmética, essa relação permite determinar os valores dos lados.

Por que o comprimento do segmento TA é importante?

TA representa a distância do vértice A ao ponto de tangência no lado DA. Como as tangentes de um mesmo ponto a um círculo são iguais, TA é igual à distância de A ao ponto de tangência no lado AB. Essa condição adicional restringe as possibilidades e garante que a solução seja única.

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