Ano 2023#mathematics

Sobre o tema

Funções que satisfazem a propriedade f(x·y) = f(x) + f(y) são conhecidas como funções logarítmicas, pois a função logaritmo tem exatamente essa característica: log(xy) = log(x) + log(y). Essa propriedade transforma multiplicação em adição, sendo útil para simplificar cálculos. Em concursos, problemas assim exploram a ideia de que, se a função está definida para números inteiros ou reais positivos, podemos decompor o argumento em fatores primos e usar os valores dados para encontrar o resultado. A questão da UNICAMP 2023 pede f(2023) sabendo f(7)=2 e f(17)=3, exigindo fatorar 2023 e aplicar a propriedade repetidamente.

Tópicos relacionados

  • Propriedade de funções logarítmicas
  • Decomposição em fatores primos
  • Funções que transformam multiplicação em adição
  • Raciocínio algébrico para funções definidas por propriedades

Enunciado

Suponha que uma função ƒ(x) satisfaça à propriedade
ƒ(x . y) = ƒ(x) + ƒ(y).
Sabendo que ƒ(7) = 2 e ƒ(17) = 3, o valor de ƒ(2023) é

Alternativas

  • A)

    7

  • B)

    8

  • C)

    17

  • D)

    18

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Perguntas frequentes

O que é uma função logarítmica?

Uma função logarítmica é definida como f(x) = log_a(x), onde a base a > 0 e a ≠ 1. Ela satisfaz f(x·y) = f(x) + f(y) e f(x^n) = n·f(x).

Como fatorar 2023 em primos?

2023 é divisível por 7? 7×289 = 2023, e 289 = 17². Logo, 2023 = 7 × 17².

Qual a importância da propriedade f(x·y)=f(x)+f(y) em problemas de concurso?

Ela permite calcular valores da função a partir de outros conhecidos, sem precisar de uma fórmula explícita, apenas usando a fatoração do número.

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