Ano 2023#mathematics

Sobre o tema

Sistemas lineares com parâmetros são comuns em problemas de álgebra linear, pois permitem analisar como a solução varia conforme um coeficiente. A condição para que um sistema linear homogêneo ou não-homogêneo tenha infinitas soluções é que o determinante da matriz dos coeficientes seja zero (sistema possível e indeterminado) e que as equações sejam linearmente dependentes, ou seja, uma seja combinação linear da outra. Neste problema, o sistema 2x2 com parâmetro a exige o cálculo do determinante e a verificação da consistência. Entender esses conceitos é fundamental para classificar sistemas lineares e resolver problemas com parâmetros, tópico recorrente em vestibulares e concursos.

Tópicos relacionados

  • Sistemas lineares com parâmetros
  • Condição para infinitas soluções
  • Determinante e consistência
  • Escalonamento de sistemas
  • Classificação de sistemas lineares

Enunciado

Para qual valor de a o sistema de equações lineares

ax-y = |a|

(4-5a^2)x+ay =1

admite infinitas soluções?

Alternativas

  • A)

    1.

  • B)

    2

  • C)

    -1

  • D)

    -2

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Perguntas frequentes

O que significa um sistema linear ter infinitas soluções?

Significa que existem infinitas combinações de valores para as incógnitas que satisfazem todas as equações simultaneamente. Isso ocorre quando as equações são dependentes (uma é combinação linear das outras) e o sistema é possível, mas indeterminado.

Como verificar se um sistema linear com parâmetros tem solução única?

Calcula-se o determinante da matriz dos coeficientes. Se o determinante for diferente de zero, o sistema tem solução única (sistema possível e determinado). Se for zero, pode ter infinitas soluções ou nenhuma, dependendo da consistência.

Qual a relação entre determinante e o número de soluções de um sistema linear?

Em sistemas quadrados (n equações, n incógnitas), se o determinante da matriz dos coeficientes é não nulo, o sistema tem solução única. Se é nulo, o sistema pode ser impossível (sem solução) ou indeterminado (infinitas soluções), dependendo se as equações são consistentes.

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