Ano 2022#Gravitacao - Orbitas circulares internas e externas a planeta esferico homogeneo#fase2#discursiva

Sobre o tema

A gravitação no interior de planetas homogêneos é um tema clássico da física, regido pelo teorema das cascas de Newton. Esse teorema afirma que, para um ponto no interior de uma distribuição esférica de massa, apenas a massa interna ao raio do ponto contribui para o campo gravitacional, e a força resultante é proporcional à distância ao centro. Isso difere do exterior, onde a força varia com o inverso do quadrado da distância. A questão do IME explora essa diferença ao considerar órbitas circulares internas e externas a um planeta esférico uniforme. O estudo desses movimentos é fundamental para entender satélites, planetas e até a estrutura interna de corpos celestes, sendo um tópico recorrente em vestibulares militares.

Tópicos relacionados

Teorema das cascas de Newton
Órbitas circulares em campo central
Variação da gravidade com a profundidade
Força gravitacional no interior de planetas
Diferença entre órbitas internas e externas

Enunciado

A figura ilustra um planeta esferico hipotetico de raio R e massa M uniformemente distribuida em seu volume. Um corpo de massa m pode ser movimentado por meio de motores. Na etapa A, o corpo descreve uma orbita circular de raio r2 em uma cavidade estreita no interior do planeta (r2 < R). Na etapa B, os motores sao acionados para transportar o corpo da orbita circular de raio r2 para a orbita circular de raio r3 (r3 > R), passando por uma passagem. Na etapa C, o corpo descreve uma orbita circular de raio r3.

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Perguntas frequentes

Por que a força gravitacional dentro de um planeta homogêneo é proporcional à distância?

Pelo teorema das cascas, a massa externa ao ponto não exerce força resultante, e a massa interna é proporcional ao volume, que varia com r³. A força é G (massa interna) m / r², resultando em uma dependência linear com r.

Como calcular a velocidade orbital para uma órbita circular dentro de um planeta?

A força centrípeta é igual à força gravitacional: m v² / r = (G M(r) m) / r², com M(r) = (r³ / R³) M. Simplificando, v = r √(G M / R³), ou seja, a velocidade é linear com o raio.

Qual a diferença entre a energia necessária para mover um corpo de uma órbita interna para uma externa?

A energia mecânica de uma órbita circular é negativa e depende do raio. Para órbitas internas (r < R), a energia é E = -(3GmM)/(2R) + (GmM r²)/(2R³). Para externas, E = - (GmM)/(2r). A diferença entre essas energias corresponde ao trabalho dos motores.