Ano 2019#gravitacao#mecanica#oscilacao-harmonica#gravidade-interna

Sobre o tema

O problema do túnel através de um planeta homogêneo é um clássico da gravitação e do movimento harmônico simples. Ele explora a força gravitacional interna a uma distribuição esférica de massa, que varia linearmente com a distância ao centro, resultando em um movimento oscilatório. A resolução utiliza a lei da gravitação universal, o teorema da casca esférica e a analogia com o oscilador harmônico, sendo frequente em vestibulares como o ITA. Compreender esse problema aprofunda o entendimento sobre gravidade, campo gravitacional interno e energia potencial.

Tópicos relacionados

  • Gravitação universal
  • Teorema da casca esférica
  • Movimento harmônico simples
  • Campo gravitacional interno
  • Período de oscilação no túnel

Enunciado

Considere um corpo celeste esferico e homogeneo de massa M e raio R atravessado de polo a polo por um tunel cilindrico retilineo de diametro desprezivel. Em um desses polos um objeto pontual e solto a partir do repouso no instante t = 0. Sendo G a constante universal de gravitacao, esse objeto vai alcancar o outro polo apos o intervalo de tempo dado por

Alternativas

  • A)

    (R^3 / GM)^(1/2)

  • B)

    pi * (R^3 / GM)^(1/2)

  • C)

    pi * (4R^3 / 3GM)^(1/2)

  • D)

    pi/2 * (R^3 / GM)^(1/2)

  • E)

    pi/2 * (4R^3 / 3GM)^(1/2)

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Perguntas frequentes

Como a força gravitacional varia dentro de uma esfera homogênea?

Dentro de uma esfera homogênea, a força gravitacional é proporcional à distância ao centro, devido ao teorema da casca esférica. Apenas a massa interna à distância r contribui, resultando em uma força restauradora linear.

Por que o movimento no túnel através do planeta é harmônico simples?

A força gravitacional interna é linear com a distância ao centro (F = -k r), análoga à lei de Hooke. Assim, o movimento é harmônico simples, com período independente da amplitude (para pequenas amplitudes).

Qual a expressão do período de oscilação no túnel diametral?

O período é T = 2π √(R³/(GM)), onde M é a massa do planeta e R seu raio. O tempo para ir de um polo ao outro é metade do período: t = π √(R³/(GM)).

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