Questões do IME

Sejam os pontos $D$, $E$ e $F$ pertencentes, respectivamente, aos lados $AB$, $BC$ e $AC$ do triangulo $ABC$, tais que $BD = 3AD$, $AF = 3CF$ e $CE = 3BE$. Sendo $P = AE \cap CD$, $Q = AE \cap BF$ e $R = BF \cap CD$, calcule $\dfrac{[PQR]}{[ABC]}$. **Observacao:** $[XYZ]$ e a area do triangulo $XYZ$.

A figura abaixo e uma representacao da estrutura do explosivo FOX-7 com a seguinte numeracao arbitraria (H1-N3-C2=C1-N1(=O1)-O2; H2-N3; H3-N4-C2; H4-N4; N2(=O3)-O4 ligado a C1). Baseado na estrutura do explosivo, explique:

Uma conhecida nave interplanetaria teve seu disco defletor destruido e entrou em movimento. Considere uma nave espacial de menor porte que sofreu o mesmo dano e e obrigada a usar o escudo de forca para se proteger. Seu escudo, ao inves de repelir, absorve a massa das particulas espaciais, como em choques perfeitamente inelasticos. O excesso de energia cinetica, apos cada choque, e dissipado pelo escudo, mas qualquer carga eletrica encontrada permanece no escudo, deixando-o carregado. A nave resolve se dirigir para o planeta ocupado mais proximo, para sofrer reparos. Por conta dos danos, so foi possivel gerar uma velocidade inicial v0 de 8% da velocidade da luz e seus motores foram desligados ate o momento de entrar em orbita. Durante o percurso, a nave encontra uma nuvem de particulas eletricamente carregadas, realizando um trajeto retilinea de comprimento L. Em media, uma particula por quilometro e encontrada pela nave. Essa nuvem localiza-se em uma regiao distante de qualquer influencia gravitacional. Sabe-se que a nave permanecera em uma orbita equatorial ao redor do planeta, cujo campo magnetico apresenta intensidade uniforme, no sentido do polo Norte (N) para o polo Sul (S). Diante do exposto, pede-se: a) velocidade final da nave logo apos o ultimo choque; b) energia maxima dissipada pelo escudo em um unico choque; e c) velocidade minima da nave para manter uma orbita de altura H = 35 x 10^3 km acima da superficie do planeta.

Um paralelepipedo obliquo $ABCD - EFGH$ possui todas as arestas com comprimento $a$. O plano que contem $ABFE$ forma um angulo de $60^\circ$ com o plano que contem $ABCD$. O angulo do vertice $E$ da face $ABFE$ e $120^\circ$. Se $\theta$ for o angulo do vertice $E$ do paralelogramo contido na base superior $EFGH$ do paralelepipedo, determine o volume do paralelepipedo em funcao da aresta $a$ e do angulo $\theta$.

Um recipiente de formato cubico de aresta a armazena 100 L de agua. Um objeto cubico de aresta b e colocado no interior desse recipiente e fica com 75% de seu volume submerso, conforme mostrado na figura. No instante t=0, aplica-se na direcao vertical uma forca F (vetor), no centro da face superior do cubo, fazendo com que o objeto seja deslocado para cima. Desconsiderando o atrito entre o recipiente e a agua e sabendo que a intensidade da forca F varia de forma que a altura da agua no recipiente caia a uma taxa constante de 4 mm/s, determine: a) a massa especifica do objeto, em kg/m^3; b) o volume do objeto cubico submerso, em t=5 s; e c) o modulo da forca F no mesmo instante de tempo do item b).

O acido piruvico e um alfacetoácido que serve como intermediario no Ciclo de Krebs do metabolismo celular, cuja estrutura e demostrada abaixo (CH3-CO-COOH). Em relacao ao acido piruvico: