Questões do IME

: 0,25 23 36 Considere as matrizes A = 1 5 e B = 2 1 . Seja XT a transposta da matriz X. Sabendo que XT A-1 = B ent�o X-1 � (A) -1 -12 5 7 39 -11 (B) - 1 11 -5 63 -39 12 (C) -1 12 -39 63 -5 11 (D) -1 -12 5 63 39 -11 (E) -1 11 39 63 -5 12

Um sistema de medicao da energia de um projetil funciona conforme descrito. Um provete, equiparado a uma maquina termica, recebe 250 J de uma fonte quente (polvora) e possui rendimento de 40%. O equipamento dispara um projetil a velocidade v contra um alvo movel de aluminio solidario a uma mola inicialmente relaxada de constante elastica k. O projetil aloja-se completamente no interior do alvo. Um mostrador acoplado ao sistema alvo-mola permite a leitura direta da energia E absorvida pela mola apos o impacto, conforme a deflexao x maxima experimentada.

Determine o(s) valor(es) real(ais) de x tal(is) que x = det([[2, -1, 0, 0, 0], [-1, 2, -1, 0, 0], [0, -1, 2, -1, 0], [0, 0, -1, 2, -1], [0, 0, 0, -1, x]])

Considere as matrizes A = [[2,3],[1,5]] e B = [[3,6],[2,1]]. Seja X^T a transposta da matriz X. Sabendo que X^T * A^(-1) = B, entao X^(-1) e

O calcario e uma rocha de origem sedimentar constituida predominantemente por carbonato de calcio. Uma tecnica que pode ser utilizada para determinar o teor de carbonato de calcio em uma amostra de calcario e a volumetria, a qual consiste na determinacao da concentracao de uma solucao A por meio do gasto de uma solucao B de concentracao conhecida, ocorrendo uma reacao quimica entre A e B. Uma amostra de 1,0 g de calcario foi dissolvida utilizando-se 25,0 mL de uma solucao de acido cloridrico com concentracao de 1,0 mol/L. Na sequencia, utilizou-se uma solucao de hidroxido de sodio com concentracao de 0,5 mol/L para neutralizar o excesso de acido, consumindo-se 17,2 mL da solucao. Considerando que apenas o carbonato de calcio presente na amostra de calcario reage com o acido cloridrico, determine: a) as equacoes balanceadas das reacoes envolvidas no processo; b) a porcentagem massica de carbonato de calcio presente na amostra de calcario.

Seja f(x) uma funcao definida em R tal que f(1) = 1. Para todo x em R valem as seguintes desigualdades: f(x+7) >= f(x)+7 e f(x+1) <= f(x)+1. Se g(x) = f(x-1) - x + 2, o valor de g(2023) e

Seja S = (1 + tg(alpha) + sec(alpha))(1 + cotg(alpha) - cossec(alpha)). Mostre que o valor de S e um numero inteiro para todo valor do angulo alpha diferente de k*pi/2, com k pertencente a Z, e calcule esse valor.

Um cubo, confeccionado com material volumetricamente homogeneo, foi colocado em um pequeno tanque com 38,75 litros de agua a 15 graus Celsius. O cubo encontra-se a mesma temperatura da agua e flutuando, conforme ilustrado na figura. O tanque possui um sistema de aquecimento eletrico (circuito com resistencia de 10 ohms em serie com resistencia de 2 ohms, tensao de 120 V) que permite elevar a temperatura da agua. Em determinado instante, a chave S do sistema de aquecimento e fechada por 35 minutos.

: 0,25 Seja f (x) uma fun��o definida em R tal que f (1) = 1. Para todo x R valem as seguintes desigualdades f (x + 7) f (x) + 7 e f (x + 1) f (x) + 1 . Se g(x) = f (x - 1) - x + 2, o valor de g(2023) � (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 2022 (E) 2023 2

Uma amostra de 46,8 g de poliestireno foi dissolvida em quantidade suficiente de benzeno para produzir 1,0 L de solucao. A pressao osmotica dessa solucao foi medida a 300 K e o valor encontrado foi de 7,38 x 10^-3 atm. Calcule o numero medio de unidades monomericas na cadeia polimerica desta amostra de poliestireno.

A figura mostra tres roldanas ideais presas ao teto por hastes verticais e tres particulas carregadas eletricamente. Duas particulas de carga negativa -Q estao penduradas por um fio ideal e uma terceira particula de carga positiva desconhecida +q esta fixada ao centro da roldana maior por uma quarta haste. Todas as particulas estao sujeitas a um campo eletrico uniforme vertical provocado por um plano infinito horizontal uniformemente carregado positivamente. Todos os quatro segmentos do fio desenrolados das roldanas estao na direcao vertical. As tres particulas estao inicialmente em equilibrio na mesma reta paralela ao plano horizontal.

Determine a soma de todos os valores reais de k para os quais o sistema: { sqrt(x^2 + 2x + 1) + |y - 2| = 1/2 { x^2 + 36y^2 = 2(kx + 72y) - 140 - k^2 possui solucao unica, sabendo que x, y pertencem a R.

O but-2-enal (aldeido crotonico ou crotonaldeido) e um liquido lacrimogenio usado como precursor de diversos produtos quimicos, tais como a vitamina E, o acido sorbico e alguns compostos pirimidicos. Apresente uma rota quimica para sintetizar o but-2-enal a partir do carbeto de calcio.

Considere os conjuntos de numeros complexos: A = {x+iy tal que x,y em R e |x|+|y| <= r} e B = {x+iy tal que x,y em R e max{|x-a|,|y-b|} <= c}, onde r, a, b e c sao reais positivos. O menor valor de r, em funcao de a, b e c, para que B esteja contido em A e

: 0,25 Considere os conjuntos de n�meros complexos: A = {x + iy tal que x,y R e |x| + |y| r} e B = {x + iy tal que x,y R e max {|x - a|,|y - b|} c} , onde r, a, b e c s�o n�meros reais positivos e max {x1,x2} � o maior valor entre os reais x1 e x2. O menor valor de r, em fun��o de a, b e c, para que se tenha B A � (A) a + b +c (B) (a + b) 2 + c (C) 2(a + b) + c (D) a + b + 2c (E) 2(a + b + c)

A equacao arctg(z) + arctg(z+1) = arctg(4/3), em que arctg(x) e o arco tangente de x, apresenta:

Uma corda de massa m uniformemente distribuida pelo seu comprimento L e mantida fixa em uma das extremidades e gira horizontalmente a velocidade angular omega. A extremidade solta da corda percorre um circulo de raio L. Um pulso de onda transversal se propaga a partir da extremidade solta, e sua posicao e indicada por x, medida a partir do extremo fixo.

: 0,25 A equa��o arctg(z) + arctg(z + 1) = arctg 4 , em que arctg(x) � o arco tangente de x, apresenta: 3 (A) duas solu��es reais sendo uma positiva e outra negativa. (B) duas solu��es reais positivas. (C) duas solu��es reais negativas. (D) uma �nica solu��o real, sendo esta positiva. (E) uma �nica solu��o real, sendo esta negativa.

Uma solucao de Na2SO4 com concentracao 1,0 x 10^-3 mol/L contem, como tracador, o radioisotopo 35-16-S, cujo tempo de meia vida e igual a 88 dias. Uma amostra de 10 mL dessa solucao produz 4,0 x 10^4 contagens por minuto em um detector de radiacao. Um volume igual de solucao de Pb(NO3)2 com concentracao 2,0 x 10^-4 mol/L e adicionado a solucao de Na2SO4, ocasionando precipitacao de PbSO4. Calcule o numero de contagens por minuto para uma aliquota de 10 mL retirada da solucao apos a precipitacao. Dado: KPS(PbSO4) = 1,3 x 10^-8

Sejam os numeros complexos z_1, z_2, ..., z_n tais que suas partes reais e imaginarias formam, respectivamente, uma progressao aritmetica e uma progressao geometrica crescentes de numeros reais e de mesma razao. Sabe-se que z_1 = 2 + 5i e z_4 = m(i^(4m) + 5i^(4m+1)) onde m pertence a Z*+ e i^2 = -1. Considere S_n = (1/5) * sum(z_k, k=1 a n) e A_n = (2/5) * sum(k, k=1 a n). Calcule o valor de P = (S_n - A_n)/i + 1 em funcao de n.

As raizes da equacao 4x^3 - 40x^2 + 129x - 135 = 0 sao os comprimentos dos lados de um triangulo em metros. Determine a area deste triangulo.

Um combustivel formado por uma mistura equimolar de n-propano e 2-metil-propano alimenta a fornalha de uma usina termeletrica, na qual ocorre sua combustao total na presenca de ar. Um sensor posicionado na chamine dessa fornalha detecta a presenca de 3% em mol de oxigenio nos gases de exaustao. Calcule a razao ar/combustivel, em proporcao massica, para uma alimentacao de 1000 mol/s desse combustivel, com a fornalha operando sob essa condicao. Dado: composicao molar do ar atmosferico: 79% de N2 e 21% de O2.

Em uma experiencia de campo, uma fonte sonora e deixada cair de um helicoptero a velocidade inicial nula. Um observador situado a uma distancia desprezivel do ponto de impacto no solo usa um instrumento para registrar a frequencia da onda emitida pela fonte. Antes de a fonte atingir o solo, a frequencia medida aumenta a principio, mas depois se torna constante dentro do limite de precisao do instrumento. A forca de arrasto que o ar exerce sobre a fonte sonora e dada por F = cv^2, no sentido oposto ao do movimento, em que c e uma constante a ser calculada e v e a velocidade escalar instantanea da fonte.

: 0,25 Dez n�meros reais formam uma progress�o geom�trica (PG) com raz�o q > 1. Removem-se ao acaso cinco desses n�meros. A probabilidade de que os cinco n�meros restantes estejam em PG � 1 1 3 2 3 (A) (B) (C) (D) (E) 252 126 126 63 63