Questões do IME

: 0,25 A, B e C s�o conjuntos n�o vazios de inteiros positivos e |X| representa a cardinalidade de um conjunto X. Sabe-se que: � |A| = |B| = |C| � |A (B C)| = |A B C| � |A B| < |A C| < |B C| O menor valor poss�vel para a soma dos elementos de A B C �: (A) 21 (B) 36 (C) 45 (D) 55 (E) 78

Um cilindro de 60 cm² de area de secao transversal contem um gas ideal confinado em seu interior. Em cima do pistao do cilindro e colado um bloco de 15 N de peso. Na Figura 1, a distancia do pistao a extremidade fechada do cilindro e de 3 cm. Invertendo-se a posicao do cilindro, conforme mostra a Figura 2, verifica-se que a distancia do pistao a extremidade fechada do cilindro passa a valer 6 cm.

Dada a matriz M = [[-2, 1], [-7, 3]], calcule M^2020 + M^2022 + M^2024 + M^2025 + M^2029.

Considere a reacao abaixo: aA + bB + cC -> 3CsKS + 6H2O. Identifique os reagentes A, B e C e os respectivos coeficientes estequiometricos a, b e c que sao empregados na reacao de obtencao de 3 mols do sal duplo CsKS.

A, B e C sao conjuntos nao vazios de inteiros positivos e |X| representa a cardinalidade de um conjunto X. Sabe-se que: |A| = |B| = |C|; |A intersecao (B uniao C)| = |A intersecao B intersecao C|; |A intersecao B| < |A intersecao C| < |B intersecao C|. O menor valor possivel para a soma dos elementos de A uniao B uniao C e:

Seja i tal que i^2 = -1. Determine a area do triangulo no plano complexo cujos vertices sao as raizes da equacao (Z - 3i/2)^3 = -27i.

A figura ilustra um plano inclinado fazendo um angulo theta com a horizontal. O plano encontra-se dentro de um tanque contendo agua, onde tambem estao um bloco de massa m e uma mola de constante elastica k, inicialmente relaxada. O bloco parte do repouso a uma distancia 2d da mola. Na primeira metade do percurso, nao ha atrito. Apos essa parte, a superficie do plano passa a apresentar atrito. Ao atingir a mola, o bloco passa a mover-se solidariamente a ela.

Determine os isomeros do composto de formula molecular C2H2Cl2, apresentando suas formulas estruturais e respectivas nomenclaturas IUPAC.

O numero de solucoes inteiras da inequacao (x+1)(x^9 - 1)(x^2 - x + 1)(x^2 - 10x + 21) / ((x^6 - 1)(x^6 + x^3 + 1)) < 0 e:

: 0,25 O n�mero de solu��es inteiras da inequa��o (E) 7 (x+1)(x9-1)(x2-x+1)(x2-10x+21) <0 (x6-1)(x6+x3+1) �: (B) 4 (C) 5 (D) 6 (A) 3

Resolva a seguinte inequacao para x real: det([[1, 1, 1], [2, log2(x), 1], [4, (log2(x))^2, 1]]) <= det([[1, 1, 1], [1, colog2(x), 1/2], [1, (colog2(x))^2, 1/4]])

Fios infinitos no plano xy sao paralelos ao eixo y e conduzem correntes eletricas nos sentidos desenhados na figura de tal forma que o modulo do campo magnetico na superficie de uma chapa metalica de carga total nula seja aproximadamente B(x) = C - Kx, onde C e K sao constantes positivas. A chapa movimenta-se com velocidade constante na direcao y mantendo-se no plano xy e induzindo assim o deslocamento de eletrons livres na chapa ate que campos eletricos estacionarios ao longo do eixo x sejam criados para que o equilibrio eletrostatico seja alcancado.

Seja i tal que i^2 = -1. O valor do numero real alfa que satisfaz a equacao cis(7pi/6) - 2*cis(-7pi/6) = det(matriz 3x3 com sqrt(3), i, alfa) e:

Durante um experimento em laboratorio, o pesquisador verificou a necessidade de uma fonte de energia com capacidade de fornecer uma f.e.m. em corrente continua com valor entre 2,0 e 2,5 volts. Para atender a essa demanda, decidiu montar uma pilha eletroquimica, tendo disponiveis acido sulfurico, estanho, magnesio e niquel, e utilizou um circuito sempre fechado em que nao se aplica o Principio de Le Chatelier. Potenciais-padrao de reducao com base no eletrodo padrao de hidrogenio: SO4^2- E0=+0,20V; Sn^4+ E0=+0,13V; Mg^2+ E0=-2,37V; Ni^2+ E0=-0,25V. Com base nas informacoes acima, pede-se: a) identificar os elementos que o pesquisador deve selecionar para compor a pilha; b) mostrar que a f.e.m. da pilha selecionada atende a necessidade do experimento; c) escrever as semirreacoes e a reacao global para a pilha selecionada.

: 0,25 Seja i tal que i2 = -1. O valor do n�mero real que satisfaz � equa��o - 3 -i 0 cis(7/6) - 2cis(-7/6) = 3/2 - 3 i5 3 -i/2 �: (B) 3/2 (C) 3/4 (D) 3/8 (E) 3/16 (A) 3

Seja o polinomio g(x) = x^5 + x^4 - 2x^3 + bx^2 + bx - 2b. O valor do maior inteiro k para o qual g(x) e divisivel por (x + 2)^k para algum b inteiro e:

: 0,25 Seja o polin�mio g(x) = x5 + x4 - 2x3 + bx2 + bx - 2b. O valor do maior inteiro k para o qual g(x) � divis�vel por (x + 2)k para algum b inteiro �: (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5 2

Em uma experiencia de campo, um observador parado estuda o movimento de um veiculo que se aproxima em sua direcao. De tempos em tempos, o veiculo emite simultaneamente um sinal acustico de frequencia f e um sinal luminoso. No instante t = t_1, o observador detecta um sinal luminoso; no instante t = t_1 + delta_t_1, detecta o sinal acustico correspondente com uma frequencia f_1. No instante t = t_2, o observador detecta outro sinal luminoso; no instante t = t_2 + delta_t_2, detecta o sinal acustico correspondente com uma frequencia f_2.

Para n natural positivo, o numero O_n e definido como a soma dos n primeiros termos da progressao aritmetica de razao 6 iniciada em 1. Dos 2024 primeiros numeros O_n, quantos apresentam resto 1 na divisao por 8?

Uma amostra de 0,156 g de benzeno gasoso sofreu combustao em um calorimetro de pressao constante com capacidade calorifica de 586 J.K^-1. Sabe-se que: i) a temperatura do calorimetro aumentou em 6,0 K; ii) todos os produtos formados sao gasosos; iii) o conjunto calorimetro-meio reacional e um sistema isolado; iv) todo o benzeno foi consumido. Calcule a massa, em gramas, de dioxido de carbono formado.

Para cada numero inteiro k >= 1, seja S_k = soma de n=1 ate k de (2^n + n^2 + n) / (2^(n+1) * n * (n+1)). Determine o menor valor de k para o qual |S_k - 1| < 265/4608.

Um laboratorio deve ser mantido refrigerado a certa temperatura e recebe fluxo de calor incidente no teto, sendo que o piso se encontra idealmente isolado. O fluxo de calor em cada parede lateral e tomado como metade daquele recebido pelo teto. O funcionamento do maquinario no interior do laboratorio juntamente com a carga termica relativa aos tecnicos esta estimado em 25% do fluxo de calor relativo ao teto mais paredes. Um tecnico estima que o custo por jornada de 8 horas referente ao acionamento eletrico do aparelho de condicionamento do ar desta instalacao e aproximadamente R$ 40,00.

Com relacao ao composto 2,2,2-tricloroetano-1,1-diol: a) represente a sua estrutura de Lewis; b) classifique cada uma das ligacoes covalentes desse composto quimico, indicando entre parenteses os orbitais que se sobropoem na ligacao, conforme a teoria de ligacao de valencia.

Considere a funcao real: f(x) = -2x + 3, se x < 1; f(x) = 2, se x = 1; f(x) = (x^4 - x^3)/(x - 1), se x > 1. O maior valor de alfa real para o qual 0 < |x - 1| < alfa implica |f(x) - 1| < 1 e: