Questões do IME

Seja o polinomio $1 - y + y^2 - y^3 + \cdots - y^{19} + y^{20}$ que pode ser escrito da seguinte forma \[ \alpha_0 + \alpha_1 x + \alpha_2 x^2 + \alpha_3 x^3 + \alpha_4 x^4 + \cdots + \alpha_{19} x^{19} + \alpha_{20} x^{20} \] onde $x = y + 1$ e $\alpha_i$ sao constantes reais. Calcule o valor numerico de $\alpha_3$.

Determine o numero de pares de enantiomeros para um composto de estrutura molecular octaedrica, cujo atomo central X esteja ligado a seis ligantes distintos (A, B, C, D, E e F) e que nao possuam estereocentros. Justifique.

Determine o lugar geometrico dos pontos $h$ do plano complexo $h = \dfrac{4 + w + 2i}{2 - wi}$, em que $w \in \mathbb{R}$ e $i^2 = -1$.

Um fio de comprimento L1 e densidade linear mu1 esta ligado a outro fio com comprimento L2 = 14*L1 e densidade mu2 = mu1/64. O conjunto esta preso pelas suas extremidades a duas paredes fixas e submetido a uma tensao T. Uma onda estacionaria se forma no conjunto com a menor frequencia possivel, com um no na juncao dos dois fios. Incluindo os nos das extremidades, determine o numero de nos que serao observados ao longo do conjunto.

Suponha que cada pacote do cereal CROK contenha um cupom com uma das letras da palavra CROK. Um consumidor que tenha todas as letras desse cereal ganha um pacote. Considere que todas as letras tenham a mesma probabilidade de aparecer no pacote. Determine a probabilidade de que um consumidor que comprou 10 pacotes desse cereal ganhe pelo menos um pacote.

O modelo dos gases ideais, ou perfeitos, descreve bem o comportamento para a maioria dos casos, no entanto, foi necessario desenvolver modelos mais precisos dentre os quais se destaca a equacao de Van der Waals. Deduza a equacao de Van der Waals, assumindo que o volume da particula/molecula nao seja desprezivel e existam interacoes entre as particulas/moleculas. Considere o seguinte: V e o volume do recipiente do gas; B e o volume total ocupado pelas moleculas do gas; As forcas de atracao sao praticamente nulas no seio da mistura do gas; e Proximo as paredes do recipiente, as moleculas sao atraidas ao centro com uma forca proporcional ao quadrado da concentracao do gas, o que reduz a intensidade dos impactos nas paredes do recipiente.

Para determinar a temperatura de um gas ideal, este foi inserido num tubo de comprimento L com uma extremidade aberta e a outra fechada. Na extremidade fechada, foi colocado um pequeno alto-falante, que emite uma frequencia f_o no estado fundamental. Dados: massa molar do gas: M; coeficiente de Poisson: gamma; numero pertencente ao conjunto dos numeros naturais: n; e constante universal dos gases perfeitos: R. Diante do exposto, determine: a) a temperatura absoluta do gas; e b) a razao entre a temperatura do gas original e de um novo gas, cuja massa molar M_barra e maior que a massa molar M do gas original, mantendo a mesma razao entre a pressao e a massa especifica do gas anterior (considere que todo o gas do item a) foi retirado).

O RDX (ciclo-1,3,5-Trimetileno-2,4,6 trinitroamina) e o TNT (2-metil-1,3,5-trinitrobenzeno), quando misturados na proporcao percentual 60/40 em massa, formam o 'Composto B'. Considerando que cada municao contem 2,5 kg de 'Composto B', inicialmente mantido a 25 graus C, determine a entalpia padrao teorica esperada na combustao completa de uma municao.

Seja $ABC$ um triangulo tal que $2\operatorname{sen}(\hat{A}) - \operatorname{sen}(\hat{B}) - \operatorname{sen}(\hat{C}) = 0$. Prove que o valor de $\operatorname{cotg}\dfrac{\hat{B}}{2} \cdot \operatorname{cotg}\dfrac{\hat{C}}{2}$ e um numero inteiro e o determine. **Observacao:** $\operatorname{cotg}(\hat{A})$ e a cotangente do angulo $\hat{A}$.

O sistema optico mostrado na figura e constituido por duas lentes convergentes, A e B, com distancias focais, respectivamente, de f e 2f. A lente A e mantida fixa na posicao x0. A lente B esta ligada rigidamente a um bloco que inicialmente se move da direita para a esquerda em velocidade constante v0 sobre um piso liso. Quando o bloco atinge a posicao x1, o piso se torna rugoso. Sabe-se que a aceleracao da gravidade no local e g e que o coeficiente de atrito cinetico entre o bloco e o piso rugoso e mu. Determine o maior valor de v0 para o qual o bloco entra em repouso sem que o sistema produza uma imagem virtual de um objeto muito distante situado a esquerda da lente A. Observacao: desconsidere as dimensoes do bloco.

Uma estrutura rigida (trelica), formada por barras de aco, encontra-se suspensa pelos pinos A e B, conforme mostrado na figura. Sabe-se que o pino A impede os movimentos vertical e horizontal e que o pino B impede o movimento horizontal. No ponto E e aplicada uma forca T na direcao vertical e no ponto C e aplicada uma forca 2T na direcao horizontal. Desprezando o peso proprio da estrutura, calcule, em funcao de T, as: a) reacoes nos apoios A e B; e b) forcas que agem nas tres barras que partem do ponto D.

Um propelente (combustivel) utilizado nos foguetes do Veiculo Lancador de Satelites (VLS) contem aluminio, perclorato de amonia e resina de polibutadieno. Considere que esse combustivel queime conforme a reacao de oxirreducao: NH4ClO4(s) + (CH2)n(l) + 2 Al(s) -> 1/2 N2(g) + CO(g) + 5/2 H2(g) + Al2O3(s) + HCl(g). Se um dos reagentes estiver em excesso, havera peso desnecessario no foguete. Um prototipo foi desenvolvido na proporcao 4:1 em massa, entre o agente oxidante e o agente redutor, para um quilo da mistura. Desconsiderando a resina incorporada na massa deste propelente, determine:

Considere as retas que contem o ponto $C(3, 3)$ e interceptam os eixos coordenados $x$ e $y$ nos pontos $A$ e $B$, respectivamente. O ponto $P$ pertence a reta $AB$ e sua distancia do ponto $A$ e a terca parte do comprimento do segmento $AB$. Identifique o lugar geometrico do ponto $P$ e escreva a sua equacao.

A figura abaixo e uma representacao da estrutura do explosivo FOX-7 com a seguinte numeracao arbitraria (H1-N3-C2=C1-N1(=O1)-O2; H2-N3; H3-N4-C2; H4-N4; N2(=O3)-O4 ligado a C1). Baseado na estrutura do explosivo, explique:

Uma conhecida nave interplanetaria teve seu disco defletor destruido e entrou em movimento. Considere uma nave espacial de menor porte que sofreu o mesmo dano e e obrigada a usar o escudo de forca para se proteger. Seu escudo, ao inves de repelir, absorve a massa das particulas espaciais, como em choques perfeitamente inelasticos. O excesso de energia cinetica, apos cada choque, e dissipado pelo escudo, mas qualquer carga eletrica encontrada permanece no escudo, deixando-o carregado. A nave resolve se dirigir para o planeta ocupado mais proximo, para sofrer reparos. Por conta dos danos, so foi possivel gerar uma velocidade inicial v0 de 8% da velocidade da luz e seus motores foram desligados ate o momento de entrar em orbita. Durante o percurso, a nave encontra uma nuvem de particulas eletricamente carregadas, realizando um trajeto retilinea de comprimento L. Em media, uma particula por quilometro e encontrada pela nave. Essa nuvem localiza-se em uma regiao distante de qualquer influencia gravitacional. Sabe-se que a nave permanecera em uma orbita equatorial ao redor do planeta, cujo campo magnetico apresenta intensidade uniforme, no sentido do polo Norte (N) para o polo Sul (S). Diante do exposto, pede-se: a) velocidade final da nave logo apos o ultimo choque; b) energia maxima dissipada pelo escudo em um unico choque; e c) velocidade minima da nave para manter uma orbita de altura H = 35 x 10^3 km acima da superficie do planeta.

Sejam os pontos $D$, $E$ e $F$ pertencentes, respectivamente, aos lados $AB$, $BC$ e $AC$ do triangulo $ABC$, tais que $BD = 3AD$, $AF = 3CF$ e $CE = 3BE$. Sendo $P = AE \cap CD$, $Q = AE \cap BF$ e $R = BF \cap CD$, calcule $\dfrac{[PQR]}{[ABC]}$. **Observacao:** $[XYZ]$ e a area do triangulo $XYZ$.

Um paralelepipedo obliquo $ABCD - EFGH$ possui todas as arestas com comprimento $a$. O plano que contem $ABFE$ forma um angulo de $60^\circ$ com o plano que contem $ABCD$. O angulo do vertice $E$ da face $ABFE$ e $120^\circ$. Se $\theta$ for o angulo do vertice $E$ do paralelogramo contido na base superior $EFGH$ do paralelepipedo, determine o volume do paralelepipedo em funcao da aresta $a$ e do angulo $\theta$.

Um recipiente de formato cubico de aresta a armazena 100 L de agua. Um objeto cubico de aresta b e colocado no interior desse recipiente e fica com 75% de seu volume submerso, conforme mostrado na figura. No instante t=0, aplica-se na direcao vertical uma forca F (vetor), no centro da face superior do cubo, fazendo com que o objeto seja deslocado para cima. Desconsiderando o atrito entre o recipiente e a agua e sabendo que a intensidade da forca F varia de forma que a altura da agua no recipiente caia a uma taxa constante de 4 mm/s, determine: a) a massa especifica do objeto, em kg/m^3; b) o volume do objeto cubico submerso, em t=5 s; e c) o modulo da forca F no mesmo instante de tempo do item b).

O acido piruvico e um alfacetoácido que serve como intermediario no Ciclo de Krebs do metabolismo celular, cuja estrutura e demostrada abaixo (CH3-CO-COOH). Em relacao ao acido piruvico:

A figura mostra um sistema usado em um laboratorio de fisica para demonstrar a difracao de luz por uma fenda. A luz de um laser de comprimento de onda lambda passa por uma fenda de largura d, formada pelo espaco entre as extremidades de duas barras de comprimento L. A outra extremidade de cada barra e mantida fixa. Depois de passar pela fenda, a luz incide em uma tela distante, na qual e observado um padrao de difracao formado por regioes claras e escuras. a) Dado que na tela sao observados exatamente 3 minimos de intensidade luminosa em cada lado do maximo central de intensidade, determine o intervalo de valores da largura d da fenda que sao compativeis com essa observacao. b) A temperatura do laboratorio normalmente e mantida em 24,0 graus C por um aparelho de ar condicionado. Em um dia no qual o experimento foi realizado com o aparelho de ar condicionado desligado, observou-se na tela apenas 1 minimo de intensidade luminosa em cada lado do maximo central de intensidade, o que foi atribuido a dilatacao termica das barras. Sabendo que o coeficiente de dilatacao linear das barras e alfa, determine o intervalo de temperaturas do laboratorio, no dia em que o aparelho de ar condicionado foi desligado, que sao compativeis com essa observacao.

Calcule a variacao de entalpia (em J) no processo de decomposicao de 600 mg de nitroglicerina (C3H5N3O9) que produz nitrogenio, dioxido de carbono e oxigenio gasosos, alem de agua liquida. Dados: deltaH0f (C3H5N3O9(l)) = -354 kJ/mol; deltaH0f (H2O(l)) = -286 kJ/mol; deltaH0f (CO2(g)) = -394 kJ/mol.

Sejam a e b raizes da equacao x^2 - 4x + M = 0, c e d raizes da equacao x^2 - 36x + N = 0. Sabendo-se que a, b, c e d formam uma progressao geometrica crescente, determine o valor de M + N.

Seja U o conjunto dos 1000 primeiros numeros naturais maiores que zero. Considere que zeros a esquerda sao omitidos. Seja A contido em U o conjunto de numeros cuja representacao na base 10 tem o algarismo mais significativo igual a 1; e B contido em U o conjunto de numeros cuja representacao na base 4 tem o algarismo mais significativo igual a 2. As cardinalidades de A - B e de B - A sao, respectivamente:

Um produtor rural constata que suas despesas mensais de eletricidade estao altas e decide contratar um pesquisador para que ele especifique formas alternativas de acionamento simultaneo de duas bombas empregadas para irrigacao de suas lavouras. O pesquisador constata que, na fazenda, existe uma maquina refrigeradora que opera em um ciclo termodinamico, bem como outro dispositivo que atua como um ciclo motor e propoe a solucao descrita a seguir: "A potencia disponibilizada pelo ciclo motor devera ser integralmente utilizada para o acionamento da maquina refrigeradora e a energia rejeitada para o ambiente de ambos os dispositivos, de acordo com os seus calculos, e mais do que suficiente para o acionamento simultaneo das duas bombas." De acordo com os dados abaixo, determine se a solucao encaminhada pelo pesquisador e viavel, com base em uma analise termodinamica da proposicao.