Questões do IME

Seja y = a * b^(x-10), a e b reais, onde os valores de x e log(y) sao relacionados pelo grafico exibido na prova. Entao o valor de a + b e: [O grafico exibido no PDF mostra uma reta no plano (x, log(y)), da qual se extraem inclinacao e intercepto para determinar a e b.]

Considere o polinomio P(x) = ((x^2025 - 1) / (x - 1))^2025. Determine o coeficiente de x^3 em P(x).

Um certo aldeido B e subsequente ao aldeido A na serie homologa de aldeidos de cadeia normal. Uma aliquota de 20 g do aldeido B e adicionada a 100 g de uma solucao aquosa contendo 30% em massa do aldeido A. A adicao de uma solucao amoniacal de AgNO3 a 8,25 g dessa solucao de aldeidos resulta na precipitacao de 21,6 g de prata. Forneca a nomenclatura dos aldeidos A e B.

Uma onda de luz plana e monocromatica propaga-se no vacuo e incide quase perpendicularmente sobre uma pelicula depositada sobre uma placa de vidro. As ondas refletidas pela pelicula e pelo vidro sofrem interferencia completamente destrutiva ao retornarem ao vacuo para tres valores de comprimento de onda da luz incidente, sendo dois deles conhecidos. Determine: a) a espessura h da pelicula, indicada na figura, em funcao dos dados acima listados; b) o valor do terceiro comprimento de onda para interferencia destrutiva; c) os valores de comprimento de onda no vacuo para o caso de haver interferencia construtiva.

A trelica estavel da figura, composta por barras metalicas formando 3 triangulos isosceles, e apoiada nos pontos A e E. No ponto D e aplicada uma forca vertical, de cima para baixo, de 8 kN. Diante do exposto, determine: a) as reacoes de apoio nos pontos A e E; b) as cargas a que sao submetidas as barras AB, AC, CE e DE, alem da natureza de cada uma delas (tracao ou compressao); c) as cargas a que sao submetidas as barras BC e CD, alem da natureza de cada uma delas (tracao ou compressao).

Seja alpha uma semicircunferencia de diametro AB contida no primeiro quadrante, sendo A = (0, 0) e B = (x_B, 0). A reta t tangencia alpha no ponto T = (x_T, y_T) e intercepta o eixo x no ponto C = (x_C, 0), com x_C > x_B. Com o centro em T, traca-se uma circunferencia de raio TH, onde H = (x_T, 0). Essa circunferencia corta a reta t nos pontos D = (x_D, y_D) e E = (x_E, y_E). Sabe-se que x_D < x_B < x_E, BC = 5 e HB = 4. Determine as coordenadas de D.

Sao dados os pontos A e B sobre uma circunferencia de raio r, de forma que a corda AB mede r. Escolhe-se ao acaso um ponto C sobre o maior arco AB. A probabilidade da area do triangulo ABC ser maior que (r^2 * sqrt(3)) / 4 e:

Um cilindro adiabatico dotado de uma tampa movel que pode se deslocar para cima e para baixo sem atrito e alimentado com 440 mg de propano e 1,60 g de oxigenio aquecidos. Durante a admissao dos gases, a tampa vai se deslocando ate parar em sua posicao final, de forma que a pressao se estabelece a 2,0 atm e a temperatura a 333 K. Os gases sao, entao, ignitados. Ocorre a combustao instantanea e completa da mistura a temperatura de combustao de 3000 K, que gera apenas produtos gasosos e ocasiona novo deslocamento da tampa. A temperatura final medida, apos a parada da tampa na nova posicao, e de 2000 K. Considere: i) comportamento ideal dos gases; ii) que a montagem e suficientemente hermetica para evitar o escape de gases; iii) que para as faixas de pressao e temperatura a serem consideradas no problema, as capacidades calorificas dos produtos sao constantes. Calcule a capacidade calorifica dos produtos da mistura de gases resultante.

Uma molecula A em fase gasosa esta sujeita a processos reacionais envolvendo ativacao e desativacao por colisoes moleculares e sua autodecomposicao, abrangendo as seguintes etapas: Etapa 1 (ativacao molecular): A + A -> A* + A, constante de velocidade k1; Etapa 2 (desativacao molecular): A + A* -> A + A, constante de velocidade k2; Etapa 3 (autodecomposicao): A* -> B, constante de velocidade k3. Considere que: i) o composto ativado A* e formado e consumido com a mesma velocidade; ii) k1, k2 e k3 possuem a mesma ordem de grandeza; iii) a lei de velocidade de formacao de B e expressa apenas em termos da concentracao de A e das tres constantes de velocidade. Determine a ordem aproximada da formacao de B e a constante de reacao em altissimas pressoes de A.

Considere a inequacao (x^2 - 100)(x^2 - 150)(x^2 - 200) < 0. A quantidade de numeros inteiros que a satisfazem e:

Sejam 3 pontos colineares A, B e C tais que AB != BC. Cada par de circunferencias de mesmo raio, uma passando por A e B e outra por B e C, se interceptam em B e M. Determine o lugar geometrico do ponto M.

Considere um caixote que e puxado por um motor com bateria e que, em t = 0, move-se em linha reta e no mesmo sentido ao longo de uma superficie horizontal com atrito. Durante a trajetoria ao longo da superficie, a velocidade do caixote varia conforme o grafico ilustrado na figura acima. Diante do exposto, determine: a) a energia total fornecida pela bateria ao longo de 4 s; b) a corrente fornecida pela bateria em t = 1,5 s; c) a distancia percorrida pelo caixote desde o inicio de seu deslocamento, de t = 0 a t = 4 s; d) a potencia instantanea maxima fornecida pelo motor em 0 < t < 4 s.

Um determinado numero de magica e conduzido em um tanque cilindrico rigido de parede dupla transparente a 27 oC, em que sao injetados os gases metano e oxigenio em sua porcao interior, fechada, de 1.400 L; e acrescentada agua liquida com corante opaco, ocupando o volume total de sua regiao anular de 180 L, aberta no topo. Em resumo, o funcionamento normal do dispositivo para o numero de magica abrange: Passo 1: CH4(g) e O2(g) sao injetados na porcao interior do tanque com volume util de 1400 L e ocorre a combustao a 27 oC, com consumo total dos reagentes; Passo 2: imediatamente apos a combustao, a porcao anular do tanque e aberta em seu topo, de modo que a agua liquida esteja a pressao de 1 atm, e o calor da combustao seja transferido integralmente para a mesma, sendo este o equivalente para vaporizar toda a agua liquida com corante; e Passo 3: apos toda a agua vaporizar, um objeto, resistente a combustao, deve aparecer para a plateia na porcao interior do tanque. Na noite da estreia, o numero de magica nao funcionou, revelando uma fumaca escura no interior do tanque, mesmo apos a vaporizacao completa da agua na regiao anular. Considere: i) o sistema composto pela porcao interior do tanque e pela regiao anular e isolado durante a ocorrencia da combustao; ii) a combustao ocorrida no interior do tanque foi incompleta, com formacao apenas de C(s), CO(g) e H2O(l) como produtos; iii) o corante nao afeta as propriedades da agua e nao adere as paredes do recipiente; iv) a pressao parcial de CO(g), apos a combustao, foi de 2,46 atm. Calcule a razao molar inicial oxidante/combustivel, nO2(g)/nCH4(g), responsavel pelo nao funcionamento do numero de magica.

Considere o seguinte subconjunto A do conjunto dos numeros complexos C: A = { z em C | sum_{n=1}^{inf} |(z - 1)/(z + 1)|^n <= k - 1 }, onde k > 1 e um numero real dado. Determine o valor maximo de |z| para z em A.

Seja r definido por uma expressao de radicais aninhados conforme o PDF (envolve raizes cubicas e quadradas compostas). Sobre a inequacao sqrt(2025+t) + sqrt(2025-t) <= 2025*r pode-se afirmar que a mesma:

A figura mostra uma particula de massa m eletricamente carregada com carga +q que realiza um movimento circular uniforme. Na reta normal ao plano da trajetoria da particula, passando pelo seu centro, esta fixada outra particula a uma altura h, de carga -Q. Ambas as particulas sao unidas por uma haste. A partir dos dados listados, determine: a) o angulo resultante entre a haste e a normal ao plano da trajetoria; b) a velocidade angular da particula em movimento.

O numero de solucoes da equacao cos^3(x) + sen^3(x) + 1/(sen(2x)/2) = 1 no intervalo [0, 2*pi) e:

Considere um triangulo com vertices em A(1,2), B(2,2) e C(4,0). A equacao da reta que e a bissetriz interna do triangulo referente ao vertice A e:

Seja I o incentro do triangulo ABC e L a intersecao da semi-reta AI com a circunferencia circunscrita ao triangulo ABC, com A e L distintos. Dado que AB + AC = 2*BC, o valor de BL/AL e:

Sao dados n circulos de mesmo raio r, cujos centros sao os vertices de um poligono regular P de n lados, de forma que cada circulo tangencia externamente dois outros circulos. Seja R o raio do circulo circunscrito a P. O valor de n quando R = 2r e:

No cubo ABCDEFGH, a aresta mede l. O ponto B1 sobre a aresta AB e tal que AB1 = l/3; o ponto D1 sobre a aresta AD e tal que AD1 = l/3 e o ponto H1 sobre a aresta GH e tal que GH1 = l/3. A area do triangulo B1D1H1 e: [A figura do cubo no PDF identifica a disposicao dos vertices.]

Cinco discos A, B, C, D e E, de centros fixos, giram solidariamente conforme a geometria da figura. Duas particulas de massas m e 2m enrolam ou desenrolam fios inextensíveis as mesmas velocidades escalares das bordas de seus respectivos discos. O disco A esta engrenado ao disco B; B e C sao concentricos (mesma velocidade angular); C esta engrenado a D; D e E sao concentricos. A particula de menor massa esta associada ao disco A e a de maior massa ao disco E. Pelo principio da conservacao da energia, a aceleracao (modulo e sentido) da particula de maior massa, apos o inicio de seu movimento, e: [A figura com os radios dos discos e necessaria para calcular as razoes de transmissao.]

Na figura, sao mostradas tres particulas fixadas e uma quarta particula pendurada por um fio inextensivel. As quatro particulas estao carregadas eletricamente e em equilibrio nos vertices de um quadrado de lado L. Dado: constante eletrica do meio k. As cargas de cada particula estao indicadas na figura. A tracao no fio e: [A figura mostra a distribuicao de cargas nos vertices do quadrado.]

Na Figura 1, e apresentado um manometro de Hg, graduado em cm, que aprisiona uma certa massa de gas ideal em equilibrio. Adiciona-se uma nova quantidade de Hg pela extremidade aberta do manometro e, apos o novo equilibrio, obtem-se a configuracao da Figura 2. Sabendo que a temperatura ambiente se manteve constante, desprezando-se qualquer vazamento de gas e sendo 70 cmHg a pressao atmosferica, o valor da graduacao x, em cm, e: [As figuras dos manometros com as alturas das colunas de Hg estao no PDF.]