Questões do IME

Em uma experiencia de campo, uma fonte sonora e deixada cair de um helicoptero a velocidade inicial nula. Um observador situado a uma distancia desprezivel do ponto de impacto no solo usa um instrumento para registrar a frequencia da onda emitida pela fonte. Antes de a fonte atingir o solo, a frequencia medida aumenta a principio, mas depois se torna constante dentro do limite de precisao do instrumento. A forca de arrasto que o ar exerce sobre a fonte sonora e dada por F = cv^2, no sentido oposto ao do movimento, em que c e uma constante a ser calculada e v e a velocidade escalar instantanea da fonte.

A figura mostra dois caminhos 1 e 2. As partes iniciais de ambos sao horizontais e lisas, sendo que, nos dois casos, os blocos A e B partem a mesma velocidade de uma mesma posicao de referencia. No instante t1, o bloco A comeca a subir uma rampa lisa (base 4 m, altura 3 m), lancando-se ao final da mesma. Nesse mesmo instante t1, o bloco B passa a percorrer um trecho rugoso de comprimento igual ao da base da rampa. Imediatamente apos o lancamento do bloco A da rampa, as velocidades horizontais dos blocos sao as mesmas e o bloco B ja passou o trecho rugoso.

Seja um tetraedro de vertices A, B, C e D. Sao dados os angulos em radianos: ADB = pi/3 e CDB = ADC = pi/2, e os comprimentos das arestas em centimetros CD = 3 e AD = BD = 4. A distancia em centimetros do ponto D ao plano ABC e

A glicose tem dois estereoisomeros, alfa e beta, que se distinguem pela atividade optica. A forma alfa tem poder rotatorio especifico de 112 graus e a beta de 18,7 graus. A conversao de uma forma para outra se da segundo uma reacao de primeira ordem reversivel: C6H12O6(alfa) <=> C6H12O6(beta) Realiza-se, entao, uma experiencia, na qual um feixe de luz polarizada atravessa um tubo contendo uma solucao de glicose. Observa-se a modificacao do desvio angular do plano de polarizacao como mostrado na tabela abaixo: Tempo (min): 0, 10, 100, infinito Angulo de rotacao (graus): 112,00, 102,67, 65,35, 56,02 Sabe-se que o desvio angular da luz polarizada e funcao linear da conversao do estereoisomero alfa e que a soma das constantes de reacao direta e reversa e 0,015 min^-1. Determine: a) a conversao especifica no instante t = 10 min; b) as constantes de velocidade da reacao direta e da reacao reversa; c) a taxa especifica de reacao no instante t = 100 min; d) a taxa especifica de reacao no equilibrio.

: 0,25 Seja um tetraedro de v�rtices A, B, C e D. S�o dados os �ngulos em radianos: ADB = e CDB = ADC = 3 2 e os comprimentos das arestas em cent�metros CD = 3 e AD = BD = 4 . A dist�ncia em cent�metros do ponto D ao plano ABC � 6 (B) 3 (D) 4 (E) 5 (A) 7 (C) 2 3 7 3

Dado um dodecaedro regular, escolhem-se 3 vertices ao acaso. Calcule a probabilidade dos 3 vertices escolhidos pertencerem a uma mesma face.

Seja um triangulo acutangulo IME conforme a figura tal que IH = IO, onde H e O sao respectivamente seus ortocentro e circuncentro, interiores ao triangulo e nao pertencentes aos lados. Calcule o angulo HEO, sabendo que os angulos EIH = 2*HIO. (A figura mostra o triangulo IME com o vertice I no topo, H e O no interior, e E na base esquerda, M na base direita.)

Considere a energia potencial de ligacao. Pode-se imaginar um modelo em que a energia de ligacao entre as especies seja considerada a propria energia potencial eletrostatica. a) Esboce, em um unico grafico de energia potencial de ligacao versus distancia internuclear, as curvas para uma ligacao quimica interatomica (covalente ou ionica) e para uma interacao intermolecular. b) Indique o fator crucial que determina a diferenca entre as curvas.

: 0,25 A soma dos inversos das solu��es inteiras da equa��o 19 x23 (E) 2 x 3 =0 23x 30 � 19 (C) -15 (D) 15 Valor: 0,25 (B) - (A) 0 30 8� QUEST�O Seja f : R - R definida como f (x) = log(x + x2 + 1). Ent�o: (A) f (x) � uma fun��o par. (B) f (x) � uma fun��o �mpar. (C) f (2x) > f (x) para todo x = 0. (D) f (x) tem duas ra�zes reais. (E) f (x) n�o tem raiz real.

A soma dos inversos das solucoes inteiras da equacao determinante([[x,2,3],[2,x,3],[2,3,x]]) = 0 e

Um grupo de pesquisadores decide aproveitar a disponibilidade de uma nascente de agua quente natural. A agua quente e resfriada, sendo que a taxa de calor deste resfriamento e empregada para acionar um motor termico A, que opera em um ciclo termodinamico. A potencia disponibilizada pelo motor termico A e utilizada para operar um ciclo de refrigeracao. Um tecnico experiente afirma que e possivel aproveitar uma bomba B em estoque (faixa de operacao: 6 kg/min +/-20%) para transportar a agua da nascente para o laboratorio.

A Figura 1 mostra um circuito magnetico formado por um material ferromagnetico de secao reta retangular 2 cm x 20 cm, uma bobina primaria com 1000 espiras e uma bobina secundaria com 200 espiras. A variacao do modulo da densidade de fluxo magnetico (B), em funcao da forca magnetomotriz (Fmm), e mostrada na Figura 2 (grafico linear de 0 a 40 T para Fmm de 0 a 2000 A.esp). O modulo do fluxo magnetico Phi(t) e constante ao longo do material ferromagnetico. A corrente i(t), mostrada na Figura 3, e aplicada a bobina primaria: i cresce linearmente de 0 a 3 A no intervalo t = 0 a t = 3 s, de 3 A cai linearmente para -3 A no intervalo t = 3 s a t = 7 s, e de -3 A volta linearmente para 0 A no intervalo t = 7 s a t = 8 s.

Uma corrente eletrica constante atravessa duas celulas eletroliticas ligadas em serie, sendo que a primeira contem uma solucao aquosa de sulfato cuprico e a segunda produz hidrogenio no catodo e oxigenio no anodo. Considerando essas informacoes e sabendo que o gas hidrogenio tem solubilidade desprezivel em agua: a) escreva as semirreacoes e a reacao global da eletrolise do sulfato cuprico em meio aquoso, envolvendo o fluxo de eletrons; b) determine o tempo, em minutos, necessario para o deposito de 0,254 g de cobre, quando se faz passar uma corrente de 2,0 A na solucao da primeira celula eletroquimica; c) calcule o pH da solucao resultante do borbulhamento do hidrogenio gasoso, produzido no catodo da segunda celula, em 200 mL de uma solucao aquosa de NaOH 0,1 mol/L, a 298 K.

Sejam a, b, c numeros reais maiores que 1. Considere a expressao S = (xy + yz + xz + 2(x + y + z) + 3) / ((x+1)(y+1)(z+1)) onde x = log_c(ab), y = log_b(ac), z = log_a(bc). Prove que o valor de S e um numero inteiro e calcule este valor.

Seja f : R -> R definida como f(x) = log(x + sqrt(x^2 + 1)). Entao:

Um poligono regular possui 2n vertices (n em N, n > 1). Escolhem-se ao acaso 4 vertices do poligono, formando o quadrilatero ABCD. A probabilidade de ABCD ser um retangulo e

Um reservatorio com 4 m x 5 m de base retangular contem 1000 L de agua. Duas trelicas iguais em planos paralelos verticais o sustentam na configuracao mostrada na figura (trelica com nos a cada 2 m horizontais e 2 m de altura), por meio de quatro apoios. No instante t = 0, a agua passa a entrar no reservatorio a uma vazao de 2 m^3/min.

Seja a reacao generica balanceada: A(g) + 2B(g) <=> C(s) + D(l) Considere que: as solubilidades das especies quimicas no liquido formado sao despreziveis; os gases se comportam idealmente; e as propriedades termodinamicas a 1,0 atm e 30 graus C sao as dadas abaixo. A(g): delta_Hf = -394 kJ/mol; delta_Gf = -394 kJ/mol B(g): delta_Hf = -47,0 kJ/mol; delta_Gf = -16,0 kJ/mol C(s): delta_Hf = -334 kJ/mol; delta_Gf = -197 kJ/mol D(l): delta_Hf = -286 kJ/mol; delta_Gf = -237 kJ/mol Determine para essa reacao: a) a expressao da constante de equilibrio com base nas concentracoes (KC); b) o valor da constante de equilibrio com base nas pressoes parciais (Kp), a 30 graus C e 1 atm; c) a variacao de entalpia a 30 graus C e 1 atm, estabelecendo se a reacao e exotermica ou endotermica; d) o valor da constante de equilibrio Kp, a 13 graus C e 1 atm, com base na equacao de Van't Hoff: ln(Kp1/Kp2) = -(delta_H/R) * (1/T1 - 1/T2)

: 0,25 Um pol�gono regular possui 2n v�rtices (n N, n > 1). Escolhem-se ao acaso 4 v�rtices do pol�gono, formando o quadril�tero ABCD. A probabilidade de ABCD ser um ret�ngulo � n n-1 n+2 2n n2 + 2n + 4 (E) 12 2n (A) 2 (B) 2n (C) 4 (D) 6 2 2n 2n 2n 4 4 4 4 4

Sejam P1 um tetraedro regular e P2 um prisma triangular reto. Ambos os poliedros possuem uma base comum, e a razao entre as areas totais de P2 e P1 e 2. Determine a razao entre os volumes de P2 e P1.

Estabeleca a relacao entre as estruturas de cada par abaixo, identificando-as como enantiomeros, diastereoisomeros, isomeros constitucionais ou representacoes diferentes de um mesmo composto. a) Par com estruturas biciclicas adamantano-like com grupos CH3 em posicoes espelhadas; b) Par trans-1,4-dicloroexano versus 1,4-dicloroexano representado em conformacao cadeira; c) Par de cicloexano com Cl e Br em posicoes axial/equatorial diferentes; d) Par de carbono quiral tetrassubstituido (C2H5, OH, H, CH3) em projecao cunha/tracejado (configuracao R e S); e) Par de ciclobutano com substituintes em posicoes diferentes (conformacao barca versus cadeira).

Considere um ponto P cujas coordenadas (x,y), x,y em R, satisfazem o sistema: 4*cossec(alpha)*x - 6*cotg(alpha)*y = 4*sen(alpha) e 12*cossec(alpha)*y - 8*cotg(alpha)*x = 0, onde alpha e um angulo em radianos diferente de k*pi (k em Z). O lugar geometrico descrito pelos pontos P, conforme se varia o angulo alpha, e um segmento de:

: 0,25 Considere um ponto P cujas coordenadas (x,y), x,y R, satisfazem o sistema 4 cossec()x - 6 cotg()y = 4 sen() 12 cossec()y - 8 cotg()x = 0 onde � um �ngulo em radianos diferente de k (k Z). O lugar geom�trico descrito pelos pontos P , conforme se varia o �ngulo , � um segmento de: (A) reta horizontal. (B) reta vertical. (C) reta inclinada. (D) elipse. (E) par�bola. 4

Seja a equacao (36x + 1)(27x + 3)(24x + 6)(18x + 3) = 189. Determine as suas raizes reais.