Questões do IME

Seja alfa em IR e z1, z2, z3 numeros complexos tais que |z1| = |z2| = |z3| = 4 e z1 diferente de z2. O menor valor de |alfa*z1 - (alfa - 1)*z2 - z3| e:

Seja o numero complexo z = (1 - 2*sqrt(2)*i)^12. Sabe-se que m = |z|. O valor de x na expressao 2^x = log_m(27m) e:

A intensidade das emissoes radioativas pode ser expressa em curie (Ci), unidade definida como 3,7x10^10 desintegracoes nucleares por segundo. Considere um tanque que armazena 50.000 L de um rejeito radioativo aquoso desde 1945, o qual contem o isotopo 137Cs, cuja cinetica de desintegracao radioativa e considerada como de primeira ordem. A meia vida do 137Cs e de 30,1 anos e sua radioatividade especifica e de 86,6 Ci/g. Se em 2010 a concentracao de 137Cs neste rejeito aquoso era de 1,155x10^-3 g/L, determine: a) a fracao percentual em massa de 137Cs que devera ter decaido para que o nivel de radioatividade a ele relacionada seja de 1,0x10^-3 Ci/L; e b) a concentracao em g/L de 137Cs no tanque quando o rejeito foi inicialmente estocado, considerando que o volume do rejeito tenha sido constante ao longo do tempo.

Determine o subconjunto de R que corresponde a solucao da equacao: 4^(log_2(sen(x))) + log_4(2^cos(2x)) + x / sqrt(4x^2) = 0.

: 0,25 Seja o n�mero complexo z = (1 - 2 2i)12. Sabe-se que m = |z|. O valor de x na express�o 2x = logm(27m) �: (A) 15/14 (B) 5/14 (C) 5/8 (D) 15/4 (E) 3/8 3

Seja a equacao do terceiro grau em x: x^3 + p1*x^2 + p2*x + p3 = 0, onde p1 < p2 < p3 sao numeros primos menores que 100. Para que a razao entre a soma e o produto das raizes da equacao seja a maior possivel, o valor de p2 + p3 deve ser:

: 0,25 Seja a equa��o do terceiro grau em x: x3 + p1x2 + p2x + p3 = 0 onde p1 < p2 < p3 s�o n�meros primos menores que 100. Para que a raz�o entre a soma e o produto das ra�zes da equa��o seja a maior poss�vel, o valor de p2 + p3 deve ser: (A) 144 (B) 152 (C) 162 (D) 172 (E) 196

Sejam os pontos a e b, no plano complexo, representados pelos numeros a = 9 + xi e b = y + 3i, onde i e a unidade imaginaria tal que i^2 = -1. O ponto a e a rotacao de 30 graus do ponto b em torno da origem no sentido anti-horario. Determine o valor do produto xy.

Escreva a formula estrutural plana do produto majoritario da mononitracão, via substituicao eletrof?lica aromatica, para cada reagente indicado abaixo: a) acido p-toluico (acido 4-metilbenzoico); b) p-cresol (4-metilfenol); c) p-tolunitrila (4-metilbenzonitrila); d) m-xileno (1,3-dimetilbenzeno); e e) 2,6-difluoroacetanilida (N-(2,6-difluorofenil) etanamida);

: 0,25 Os valores para s e t s�o escolhidos no intervalo (0, r), tais que s + t < r. Considere tr�s segmentos de reta com comprimentos s , t e r � s � t. Qual a probabilidade desses segmentos formarem um tri�ngulo? (A) 2/3 (B) 1/2 (C) 1/3 (D) 1/4 (E) 3/4

Em uma sala com 11 estudantes, um professor decidiu aplicar um trabalho dividindo aleatoriamente a turma em tres grupos de 3 estudantes e um grupo de 2 estudantes. Sabendo que na turma ha um casal, qual e a probabilidade de que o mesmo faca o trabalho junto?

Os valores para s e t sao escolhidos no intervalo (0, r), tais que s + t < r. Considere tres segmentos de reta com comprimentos s, t e r - s - t. Qual a probabilidade desses segmentos formarem um triangulo?

Um motor de 6 cilindros e volume total de 5.700 cm3, utilizado em viaturas leves e blindadas, consome 0,5g do combustivel gasoso de composicao media C8H18, em cada cilindro, por segundo de operacao. Consideracoes: - o ciclo termodinamico do motor compreende o funcionamento em 4 tempos: admissao, compressao, combustao e exaustao (escape); - o motor executa 10 ciclos por segundo, ou seja, a mistura de ar e combustivel enche os cilindros e depois e comprimida 10 vezes por segundo; - a mistura ar e combustivel e introduzida a temperatura de 100 graus C, ate que a pressao seja de 1 atm em cada cilindro; - 20,0% da quantidade de combustivel sofre combustao incompleta, sendo convertida em CO(g); - 80,0% da quantidade de combustivel sofre combustao completa, sendo convertida em CO2(g); - a mistura de ar e combustivel comporta-se como gas ideal; - as capacidades calorif?cas molares sao independentes da temperatura; e - as entalpias de formacao a 25 graus C. Determine: a) a vazao da entrada de ar no motor, em m3/s; e b) a composicao percentual molar dos produtos e a temperatura de combustao, em K.

Considere o quadrado de lado L apresentado na Figura A. Ao aplicar uma determinada operacao de corte, obtem-se a Figura B e repetindo a operacao, em cada quadrado remanescente, obtem-se a Figura C. Qual sera a area remanescente, a partir do quadrado da Figura A, ao final de 10 operacoes? [Figura com esquema de cortes progressivos em quadrado]

: 0,25 Considere o quadrado de lado L apresentado na Figura A. Ao aplicar uma determinada opera��o de corte, obtem-se a Figura B e repetindo a opera��o, em cada quadrado remanescente, obtem- se a Figura C. Qual ser� a �rea remanescente, a partir da quadrado da Figura A, ao final de 10 opera��es? 59L2 (A) 99 510L2 (B) 910 511L2 (C) 911 (D) 910 - 510 L2 910 (E) 510 - 910 L2 910 4

Na figura abaixo, apresenta-se um conjunto cilindro-pistao, onde o peso do pistao e desprezivel, em que ocorre a seguinte reacao do oxido de niquel (II) a temperatura constante: NiO(s) + CO(g) <=> Ni(s) + CO2(g) Para a manutencao da temperatura constante ate a situacao de equilibrio, devem ser retirados do meio reacional 16,10 kJ de energia por mol de oxido de niquel reagido, na forma de calor. Sabe-se que a constante de equilibrio para a reacao e Kp = 500 e que, na temperatura de reacao, as entropias padrao sao: - S0(NiO) = 38,10 J.(mol.K)-1; - S0(Ni) = 30,56 J.(mol.K)-1; - S0(CO) = 251,0 J.(mol.K)-1; e - S0(CO2) = 296,0 J.(mol.K)-1. Com base nas informacoes fornecidas e considerando que os gases se comportam idealmente, determine a temperatura na qual a reacao foi conduzida.

Sabendo-se que sen^4(alpha)/a + cos^4(alpha)/b = 1/(a + b) com a != 0, b != 0 e a + b != 0, determine sen^8(alpha)/a^3 + cos^8(alpha)/b^3 em funcao de a e b somente.

Estabeleca a relacao entre as estruturas de cada par abaixo, identificando-as como enantiomeros, diastereoisomeros, isomeros constitucionais ou representacoes diferentes de um mesmo composto. a) Par de ciclohexanos substituidos com Cl e Br (um com Cl axial e Br equatorial, outro com Br axial e Cl equatorial); b) Par de alenos substituidos com Cl e H (H,H,Cl,Cl vs Cl,H,H,Cl em geometrias de aleno); c) Par de compostos com dois centros estereogenicos CHCl-CHCl e CH3 (configuracoes R,R vs S,R); d) Par de compostos ciclicos com dupla ligacao e substituintes CH3, H e Cl em geometrias distintas; e) Par de compostos biciclicos (norbornano) com Cl e H em posicoes distintas.

Seja um triangulo acutangulo ABC onde h_B e h_C sao as alturas dos vertices B e C, respectivamente, e BC = a. Sabendo-se que (h_B * h_C) / a^2 = sqrt(6)/4 e cos(A) + cos(B) * cos(C) = p / (q * sqrt(m)), calcule p + q + m. Dados: p, q e m sao numeros naturais; p e q sao primos entre si; e m e o menor possivel.