Questões do IME

Um inteiro positivo e escrito em cada uma das seis faces de um cubo. Para cada vertice, e calculado o produto dos numeros escritos nas tres faces adjacentes. Se a soma desses produtos e 1105, a soma dos seis numeros das faces e:

Seja 1/b = sen(pi/14) . sen(3*pi/14) . sen(5*pi/14). Determine b, onde b pertence ao conjunto dos numeros inteiros nao nulos.

Um minerio de ferro, contendo Fe3O4, foi analisado a partir da dissolucao de uma amostra de massa 1,161 g em acido. Na dissolucao, todo o ferro proveniente do Fe3O4 foi reduzido a Fe2+. A seguir, a amostra foi titulada com 40 mL de uma solucao 0,025 mol/L de KMnO4, tendo como produtos Mn2+ e Fe3+. Diante do exposto: a) escreva a equacao ionica global simplificada de oxirreducao, balanceada, ocorrida na titulacao; b) determine a porcentagem em massa de Fe3O4 no minerio.

Um recipiente de vidro contendo gas tem uma lente convergente e uma fonte sonora presas a um suporte (A) que desliza no trilho (B) a velocidade constante. Um feixe laser (C), que ilumina o objeto (D), forma imagens reais nitidas por duas vezes em (E), separadas por uma diferenca de tempo Delta_t, sendo que, entre a formacao dessas duas imagens, chegam n bips (pulsos sonoros de mesma duracao) no detector (F) e n - 1 bips sao emitidos pela fonte sonora. Considerando que o comprimento do recipiente e L e a distancia focal da lente e f, determine a velocidade do som no gas.

Os pontos A(-5, 0) e B(5, 0) definem um dos lados do triangulo ABC. A bissetriz interna do angulo correspondente ao vertice C e paralela a reta de equacao 14x - 2y + 1 = 0. Determine o valor da excentricidade do lugar geometrico definido pelo vertice C deste triangulo.

A figura apresenta tres esferas de cargas positivas Q fixas nos vertices de um triangulo equilatero ABC de centro O e localizado no plano horizontal. Um corpo de massa m, posicionado no ponto D em t = 0, tem a ele grudadas milhares de microparticulas de cargas positivas e massas despresiveis. O corpo sofre uma queda vertical ate o ponto O. No intervalo 0 <= t < 5/3 s, diversas microparticulas vao se soltando gradativamente do corpo, de modo que sua velocidade permanece constante. O restante das microparticulas desprende-se totalmente em t = 5/3 s, exatamente no ponto E, no qual o angulo entre os segmentos AO e AE e de 30 graus. O corpo continua em movimento ate atingir o plano ABC no ponto O em t = 8/3 s. Determine: a) a velocidade do corpo no intervalo 0 <= t < 5/3 s; b) a altura inicial do corpo (comprimento DO) em t = 0; c) a carga do corpo imediatamente antes do instante t = 5/3 s, quando o restante das microparticulas se desprendeu; d) a carga inicial do corpo em t = 0.

Estabeleca a relacao entre os pares cujas estruturas estao representadas abaixo, identificando-os como enantiomeros, diastereoisomeros, isomeros constitucionais ou representacoes diferentes de um mesmo composto. a) Ciclopentano com H e Cl em posicoes especificas (par de estruturas com representacao em cunha/tracejado) b) Par de estruturas cubanas (cuneiformes) c) Par com ciclooctano: uma estrutura plana e outra com representacao estereoquimica d) Ciclopropano triangulo e ciclobutano quadrado e) Par de dienos com diferentes configuracoes geometricas (E/Z) em cadeia C=C=C

Uma progressao geometrica e formada com os numeros naturais A, B e C, nessa ordem. O log(A) possui a mesma mantissa M do log(B) e C e a caracteristica do log(A). Sabe-se que M = log(C) e que C possui o maior valor possivel. O valor da mantissa do log(ABC) e:

A figura mostra o diagrama esquematico de um conversor eletromecanico que transforma a energia eletrica de entrada, fornecida pela fonte VT, em energia mecanica na saida, utilizada para acionar o eixo do rotor. Nesse conversor, toda a potencia dissipada no resistor R2 e transformada em potencia mecanica empregada para acionar o eixo. Sabendo que a velocidade angular do eixo e 1800 rpm, pede-se: a) o torque no eixo do conversor, considerando que os reostatos R1 e RC estao ajustados em 1 Ohm e em 50 Ohm respectivamente; b) a nova velocidade de rotacao do eixo, em rpm, se o reostato R1 for ajustado para 2 Ohm e RC continuar ajustado em 50 Ohm, sabendo que o torque no eixo do motor e proporcional ao produto das correntes Ic e Ip; c) o que deve ser feito para que o torque desenvolvido pelo eixo, com R1 ajustado em 2 Ohm, volte a ser o mesmo das condicoes de funcionamento do item (a); d) o rendimento do sistema para as mesmas condicoes de funcionamento do item (c).

O minerio de bauxita e uma mistura de oxido de aluminio e outros compostos. Para obtencao do aluminio puro, inicialmente a bauxita e aquecida em um reator, juntamente com uma solucao de hidroxido de sodio, formando hidroxido de aluminio. Apos purificacao e calcinacao, o hidroxido gera oxido de aluminio, que e entao dissolvido em um eletrolito inerte e eletrolisado com anodos de carbono. Esses anodos reagem com o oxido, eliminando gas nao toxico. Uma industria tem a capacidade de processar ate 9 mil toneladas de bauxita por dia e, a cada 6 kg desse minerio sao obtidos 3,6 kg de oxido de aluminio. Atualmente, a industria aplica a cuba eletrolitica uma corrente de 130 MA durante 24 horas. Supondo 100% de eficiencia da corrente, calcule o percentual da capacidade maxima que e atualmente utilizado pela industria.

Considere os modelos de placas de identificacao de veiculos: Modelo 1: AB123 (duas letras seguidas de tres numeros); Modelo 2: AB1234 (duas letras seguidas de quatro numeros); Modelo 3: ABC1234 (tres letras seguidas de quatro numeros); Modelo 4: ABC1D23 (tres letras seguidas de um numero, uma letra e dois numeros). Sejam c1, c2, c3 e c4 as quantidades das combinacoes alfanumericas possiveis para os modelos 1, 2, 3 e 4, respectivamente. Os numeros c1, c2, c3 e c4 sao termos de uma progressao aritmetica com infinitos termos com a maior razao possivel. A soma dos algarismos da razao dessa progressao e: (considere o alfabeto com 26 letras)

Sobre uma reta r sao marcados tres pontos distintos A, B e C, sendo que C e um ponto externo ao segmento de reta AB. Determine o lugar geometrico das intersecoes das retas tangentes a partir de A e B a qualquer circunferencia tangente a reta r no ponto C. Justifique sua resposta.

Um profissional de iluminacao deseja projetar um sistema de feixe de luz capaz de iluminar o fundo reflexivel de uma piscina e o gramado posicionado logo apos o lado A. Sua ideia e submergir parcialmente um bloco macico em formato de paralelepipedo reto, com uma fonte luminosa presa em sua base submersa B1, que emite um feixe de luz que percorre a trajetoria mostrada na figura. O bloco e fixado por dois cabos horizontais presos a sua base nao submersa B2 e ortogonais ao lado A da piscina, sendo um deles amarrado, por meio de roldanas, na tampa articulada do compartimento onde e guardado o material de limpeza da piscina e o outro, na arvore. Considere que a piscina esteja completamente cheia com agua e que a tracao aplicada nos cabos seja metade do seu valor maximo para ruptura, especificado pelo fabricante. Calcule: a) a altura L do bloco; b) a distancia d em que o bloco deve ser posicionado, em relacao ao lado A da piscina.

Em um experimento em laboratorio, tomaram-se duas amostras de 0,177 g de um composto de formula CaHbOcNd. Uma das amostras foi completamente consumida por combustao, gerando 0,264 g de CO2 e 0,135 g de vapor de agua. A outra reagiu totalmente com compostos nao nitrogenados, gerando amonia como unico produto nitrogenado, a qual necessitou de 3 cm3 de uma solucao 0,5 mol/L de acido sulfurico para sua completa neutralizacao. Determine a formula empirica do composto.

Um determinado material radioativo, com volume inicial Q_0, e manipulado numa usina nuclear. A cada dia o residuo impuro da substancia e descartado, atraves de uma ligacao por um pequeno orificio, num invólucro lacrado em formato de paralelepipedo retangulo. No primeiro dia, a quantidade D_1 descartada corresponde a 1/3 do volume inicial do material e, de um modo geral, a quantidade D_n descartada no n-esimo dia e dada pela relacao: D_n = (1/3) * D_(n-1), para n >= 2. Determine as dimensoes do involucro (altura, largura e profundidade) onde se armazena o material descartado de modo que o custo de fabricacao seja minimo (isto e, a superficie lateral tenha area minima) e tenha capacidade prevista de armazenamento por tempo indeterminado.

Considere a progressao geometrica a_1, a_2, ..., a_n, ... e a progressao aritmetica b_1, b_2, ..., b_n, ... com as condicoes: a_1 > 0; a_2/a_1 > 1; e b_2 - b_1 > 0. Para que [log_alfa(a_n) - b_n] nao dependa de n, o valor de alfa devera ser:

Todos os arcos entre 0 e 2*pi radianos que satisfazem a desigualdade sen(x) - 1/2 > cos(x) + sqrt(3)/2 estao compreendidos entre:

O lugar geometrico definido pela equacao x^2 + 3y^2 + 5 = 2x - xy - 4y representa:

Um triangulo equilatero e projetado ortogonalmente em um plano, gerando um triangulo isosceles, cujo angulo desigual mede 30 graus. O cosseno do angulo do plano do triangulo equilatero com o plano de projecao e:

Em um cubo regular de aresta a, os pontos M, N e L pertencentes as tres arestas distintas que partem do vertice A estao a uma distancia x de A tal que 0 < x <= a/2. Para que o plano MNL seja tangente a esfera inscrita no cubo, o valor de x e:

Considere a funcao f(x) = sqrt(x - a), x >= a, onde a e um numero real positivo. Seja s a reta secante ao grafico de f em (2a, f(2a)) e (5a, f(5a)) e t a reta tangente ao grafico de f que e paralela a reta s. A area do quadrilatero formado pela reta s, a reta t, a reta x = 2a e a reta x = 5a e sqrt(2) unidades de area. O valor de a, em unidades de comprimento, e:

Uma fonte sonora de frequencia f_0 e arremessada verticalmente para cima, com velocidade inicial v_0 = 98 m/s, de um ponto da superfície terrestre no qual a aceleracao da gravidade e g = 9,8 m/s^2. Despreze a resistencia do ar e a variacao da aceleracao da gravidade com a altitude. A frequencia f percebida 10 segundos mais tarde por um observador estatico situado no local do arremesso e tal que:

Um sistema mecanico, composto por um corpo de massa M = 10 kg conectado a uma mola, esta inicialmente em equilibrio mecanico e em repouso sobre uma superficie horizontal sem atrito. Um projetil esferico de massa m = 2 kg e disparado na direcao horizontal contra a massa M, provocando um choque perfeitamente inelastico que inicia uma oscilacao no sistema. Dados: amplitude de oscilacao do sistema = 0,4 m; frequencia angular = 2 rad/s. A velocidade do projetil antes do choque entre as massas M e m, em m/s, e:

Um individuo instalou uma fonte de luz monocromatica linearmente polarizada na roda do seu carro, irradiando em direcao ortogonal a roda e paralela ao solo. O veiculo esta em movimento retilinea em velocidade constante. Um detector linearmente polarizado desloca-se, acompanhando o eixo da roda, na mesma velocidade e sentido do carro. O grafico da intensidade luminosa (I_L) captada pelo detector, em funcao do angulo (theta), em graus, entre os planos de polarizacao da luz e do detector, e: [grafico de I_L x theta]